My Life is My Happiness...: metode integrasi numerik

metode integrasi numerik yang lazim digunakan :

merupakan metoda integrasi yang paling mudah

$\dot{x}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ $x_{k}=x_{k-1}+h \dot{x}_{k-1}$

$\dot{x}_{k-1}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+h \dot{x}_{k}$

Pada metoda integrasi implisit nilai aktual x_k juga digunakan sebagai umpan balik. Umpan balik ini dapat menyebabkan terjadinya lingkaran aljabar. Untuk menghindarinya maka bentuk persamaan diubah menjadi seperti ini

$\dot{x}_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k}=f(x_{k-1},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+ h[I-hJ]^{-1}\dot{x}_{k}$

J adalah matrix Jacobi. Pada sistem linear dan invarian terhadap waktu, maka matrix J = A

Metoda Heun

Algoritma integrasi Heun memerlukan dua masukan yaitu u_k dan u_k_{− 1}

$\dot{x}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$

$x^p_{k}=x_{k-1}+h \dot{x}_{k-1}$ $\dot{x}^p_{k}=f(x^p_{k},u_{k})$

$x_{k}=x_{k-1}+ {h\over2}(\dot{x}_{k-1} + \dot{x}^p_{k})$

Metoda Runge-Kutta

merupakan integrator dengan empat masukan.

$\dot{x}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$

$x^{p1}_{k-0.5}=x_{k-1}+{h\over2} \dot{x}_{k-1}$ $\dot{x}^{p1}_{k-0.5}=f(x^{p1}_{k-0.5},u_{k-0.5})$

$x^{p2}_{k-0.5}=x_{k-1}+{h\over2} \dot{x}^{p1}_{k-0.5}$ $\dot{x}^{p2}_{k-0.5}=f(x^{p2}_{k-0.5},u_{k-0.5})$

$x^{p3}_{k}=x_{k-1}+h \dot{x}^{p2}_{k-0.5}$ $\dot{x}^{p3}_{k}=f(x^{p3}_{k},u_{k})$

$x_{k}=x_{k-1}+ {h\over6}(\dot{x}_{k-1} + 2\dot{x}^{p1}_{k-0.5}+ 2\dot{x}^{p2}_{k-0.5}+ \dot{x}^{p3}_{k})$

Metoda Trapesium (Trapez)

merupakan nilai tengah dari metoda Euler eksplisit dan metoda Euler implisit.

$\dot{x}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1} = f(x_{k-1},u_{k-1})$ $\dot{x}_{k}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+{h\over2}(\dot{x}_{k}+\dot{x}_{k+1})$

Sama halnya dengan metoda Euler implisit, metoda ini dapat menyebabkan lingkaran aljabar. Oleh karena itu, bentuk persamaan ini diubah menjadi seperti ini

$\dot{x}_{k-1}=Ax_{k-1}+{B\over2}(u_{k-1}+u_k)=f(x_{k-1},u_{k-1},u_k)$ $x_{k}=x_{k-1}+ h[I-{h\over2}J]^{-1}\dot{x}_{k}$

Metode Newton–Cotes

No.	Nama Aturan	Rumus	Estimasi Kesalahan
1	Trapezoid	$\frac{b-a}{2} (f_0 + f_1)$	$-\frac{(b-a)^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)$
2	Simpson 1/3	$\frac{b-a}{3} (f_0 + 4 f_1 + f_2)$	$-\frac{(b-a)^5}{90}\,f^{(4)}(\xi)$
3	Simpson 3/8	$\frac{3(b-a)}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3)$	$-\frac{3(b-a)^5}{80}\,f^{(4)}(\xi)$
4	Boole atau Bode	$\frac{2(b-a)}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4)$	$-\frac{8(b-a)^7}{945}\,f^{(6)}(\xi)$

My Life is My Happiness...

Sabtu, 07 Mei 2011

metode integrasi numerik

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Support Link

Contact Person